Aplicaciones de La logica Proposicional

La lógica proposicional se la usa para proporcionar reglas y técnicas para que poder saber si un argumento es válido o no. Además en matemáticas se lo aplicar para la resolución de teoremas; en ciencias de la computación se lo puede aplicar si para saber si son o no correctos los algoritmos de un programa programas; en las ciencias físicas y naturales se los usa para sacar conclusiones de experimentos; y en las ciencias sociales y el diario vivir se lo usa para resolver multitud de problemas.(Extraido de Logica Matematica de la Wikipedia)

Otra de las aplicaciones que se le ha podido encontrar a la lógica proposicional es en el internet en un buscador ya que si tratamos de buscar dos significados que tengan relación o bien que sean opuestos mediante el uso de los conectora and y or: si buscamos un concepto y lo queremos asociar con otro usamos el conector and, en cambio si queremos buscar dos significados que sean diferentes usamos el conector or.

Lógica es el estudio del razonamiento, que se refiere específicamente a si el razonamiento es correcto. La lógica se centra en la relación entre las afirmaciones y no en el contenido de una afirmación en particular. Proposiciones Una proposición es una unidad semántica que, o solo es verdadero, o solo es falsa, pero no ambas cosas

Ejemplos:

• El día de hoy está bonito.
• Está lloviendo.
• 17+5=20

Nota: Los enunciados que expresen admiración, duda, interrogación, suspenso, etc., no son proposiciones.

• ¿Me invistas a bailar?
• ¡Qué hermoso paisaje!
• ¿Cómo estás?

Tipos de proposiciones

Existen 2 tipos de proposiciones: Atómicas y Moleculares o Compuestas Proposiciones Atómicas._ Son aquellas que contienen una sola proposición.

Leyes de ProposicionesEstas leyes son utilizadas para simplificar expresiones lógicas.

1. Equivalencia:

p = p

2. Idempotencia

p ^ p = p

p v p = p

3. Asociativa

p ^ (q ^ r) = (p ^ q) ^ r

p v (q v r) = (p v q) v r

4. Commutativa

p ^ q = q ^ p

p v q = q v p

5. Distributiva

p ^ (q v r) = (p ^q) v (p ^ r)

p v (q ^ r) = (p v q) ^ (p v r)

6. Identidad

p v 0 = p

p v 1 = 1

p ^ 1 = p

p ^ 0 = 0

7. Complemento

p v ~p = 1

~~p = p

p ^ ~p = 0

~0 = 1

~1 = 0

8. Morgan

~ (p ^ q) = ~p v ~q

~ (p v q) = ~p ^ ~q

9. Absorción

p ^ (p v q) = p

p v (p ^ q) = p

10. Condicional

p → q = ~p v q

p → q = ~q → ~p

11. Bicondicional

p q = (p → q) ^ (q → p)

12. Dominancia

p ^ F = F

p v V = V

13. Elemento Neutro

p ^ V = P

p v F = P

Empecemos

«-Sospecho que intentas desanimarme. Puesto que los conozco, me parece difícil creer que cualquiera de los dos sea el asesino, aunque he intentado dejar a un lado mis opiniones subjetivas y ceñirme a la lógica. Anoche, antes de dormirme, hice una lista con todos los…
-No hay nada mejor que la lógica para combatir el insomnio. Se parece a…-no concluí la frase.» (Dashiell Hammett. El hombre delgado)

«-Me asombra, Holmes -señalé mientras me alejaba de la ventana soleada, ya sin esperanzas-. ¡Conque un filósofo matemático! No tenía la menor idea de que sus intereses incluyeran este tipo de cosas. Yo mismo le he oído muchas veces referirse a ellas como sandeces sin sentid.
-El siglo veinte es una nueva era -dijo Holmes-. Nuevas ideas surgen de las mejores mentes de esta época y nuestros científicos y filósofos de Cambridge están a la cabeza. ¿No ha oído usted hablar de la escisión del átomo por un individuo llamado Rutherford? Y Russell, junto con su compañero Whitehead, ha publicado recientemente un trabajo en el que han escindido, por así decirlo, algo mucho más difícil: nuestro sistema numérico en pequeñas partículas de pura lógica. Han consumido unas doscientas páginas antes de llegar al número uno» (Randall Collins. DR. J.H. Watson. El caso del anillo de los filósofos)

«-(Bebiendo cerveza)¡Por la lógica!, el origen y la solución de todos nuestros problemas» (Homer Simpson. En el texto original dice “por la cerveza”, pero creo que también suscribiría esto.)

RAZONEMOS UN POCO

	¿Crees que un hombre puede casarse con la hermana de su viuda?
	Tomando las siguientes premisas intenten vuesas mercedes resolver estos enigmas lógicos:

a) Los caballeros siempre dicen la verdad

b) Los escuderos siempre mienten

Primer caso: Hay dos individuos, A y B, cada uno de los cuales es caballero o escudero. A dice :”Uno al menos de nosotros es escudero“. ¿Qué son A y B?
Segundo caso: Supóngase que A dice ,” O yo soy escudero o B es un caballero“. ¿Qué son A y B?
Tercer caso: Supóngase que A dice “yo soy escudero, pero B no lo es“. ¿Qué son A y B?
Cuarto caso: Ahora tenemos a tres personas, A, B, C, cada una de las cuales es caballero o escudero. A y B dicen lo siguiente:

A: Todos nosotros somos escuderos

B: Uno de nosotros, y sólo uno es un caballero

¿Qué son A, B y C ?

La situación ha cambiado, ahora el malvado rey del país de la lógica propone un nuevo juego donde te la juegas de verdad. Te colocarán en una habitación donde hay dos puertas con unos letreros, en dichas puertas puede haber o una dama (las chicas pueden, si lo prefieren, cambiar la dama por un guapo mozetón) o un tigre. Salvar la vida o ir de juerga depende de tu capacidad lógica para leer e interpretar correctamente los carteles de las puertas.

Prueba Nº 1

-¿Es verdad lo que dicen los letreros? - preguntaste
-Uno de ellos dice la verdad -te contestó el rey-, pero el otro no.

¿Qué puerta debes abrirás suponiendo, por supuesto, que prefieras a la dama, o al apuesto galán?

Prueba Nº 2

-¿Es verdad lo que dicen los letreros?
-O bien los dos dicen la verdad, o bien los dos mienten.

(Estos y otros divertimentos lógicos los podéis encontrar en los libros de Smullyan citados en la bibliografía)

DEFINICIÓN DE LÓGICA

Siguiendo a Alfredo Deaño la lógica es la «ciencia que estudia la validez formal de las inferencias». Para comprender esta definición necesitamos entender qué es una inferencia y qué se entiende por ‘validez formal’.

Inferencia. Una inferencia es, de forma intuitiva, un razonamiento o una argumentación. Lo característico de esta forma pensamiento es que en él pasamos de un conjunto de afirmaciones a las que denominamos premisas a otra afirmación a la que llamamos conclusión.

La validez de un razonamiento es independiente de la verdad o falsedad de sus premisas. Lo fundamental es comprender que para que un razonamiento sea válido (formalmente válido), no puede darse el caso que si sus premisas son verdaderas, la conclusión sea falsa.

La lógica únicamente se preocupa de los esquemas de razonamiento, y para eso, la lógica toma la forma de una ciencia deductiva. Como en cualquier otra ciencia, la lógica es un sistema de enunciados, con la peculiaridad, en este caso, de que los enunciados se encuentran deductivamente ligados formando un cálculo o un sistema de cálculo.

Un sistema de cálculo se compone de los siguientes elementos:

1. Un conjunto de elementos primitivos (símbolos elementales) que constituyen las herramientas básicas con las que se construye el sistema.

2. Un conjunto de reglas (reglas de formación) Mediante estas reglas podemos realizar las combinaciones correctas de símbolos elementales. Gracias a este conjunto de reglas podemos determinar cuando una expresión pertenece al sistema de cálculo. Aquellas expresiones que estén bien construidas pertenecerán al sistema.

3. Un conjunto de reglas de transformación que nos permiten transformar una expresión bien construida de símbolos en otra expresión que estará también bien construida.

Todo sistema de cálculo se tiene un carácter autárquico, esto quiere decir que son sistemas que sólo refieren a sí mismos y no tienen nada que ver con el mundo real o con algo ajeno a ellos.

LÓGICA DE PROPOSICIONES

La base del cálculo lógico son los enunciados o proposiciones. El sistema de cálculo divide el lenguaje en dos elementos básicos:

Oraciones

Conjunciones, elementos del sistema que sirven para enlazar oraciones simples y formar oraciones compuestas

Así que lo que tenemos es por un lado oraciones, y por otro, elementos que nos permiten formar estructuras más complejas a partir de la unión de oraciones.

Lo característico de la Lógica de Proposiciones es que no analiza el interior de éstas, su análisis, lo que es relevante desde el punto de vista lógico de la lógica de proposiciones es la oración tomada como un todo, sin adentrarnos en los elementos que las componen. En otros términos también se dice que la lógica de proposiciones sólo está interesada en la forma de las oraciones. Veamos un ejemplo:

Si Ulises fue el rey de Ítaca
Y Homero no dice que el rey de Ítaca fue el responsable de la caída de Troya
Entonces, Ulises fue el responsable de la caída de Troya

Desde un punto de vista lógico la forma lógica de este razonamiento sería:

Si…, y…, entonces…

Para poder expresar inferencias si tener que comprometerse con un contenido concreto, esto es, buscando exclusivamente la forma lógica de la inferencia, en lógica se van a usar unos signos a los que se denominan ‘variables’, y dado la lógica de proposiciones sólo se ocupa de enunciados, estas variables serán variables enunciativas o proposicionales. Las variables proposicionales son signos, previamente especificados del sistema, que hacen las veces u ocupan el lugar de un enunciado en una inferencia. Los signos que sustituyen a los enunciados en el sistema de cálculo lógico se forman con las últimas letras del abecedario, a partir de la letra ‘p’.

‘p’, ‘q’, ‘r’, ‘s’, ‘t’, ‘u’, ‘v’, ‘x’, ‘y’, ‘z’ son todas variables enunciativas.

Valores de verdad

Toda variable puede tener dos valores de verdad, o dicho de otra manera, en el sistema lógico que vamos a estudiar, toda oración tiene dos valores de verdad; o es verdadera o es falsa. Para expresar la verdad o falsedad de una oración vamos a utilizar la siguiente convención:

‘1’ significará que la oración es verdadera y ‘0’ que la oración es falsa

De modo que una oración ‘p’ podrá tener sólo dos valores de verdad, y eso lo expresamos de la siguiente manera:

Si en lugar de una variable tomamos dos ‘p’ y ‘q’ y combinamos sus valores de verdad posibles obtendremos la siguiente tabla:

Si tuviésemos tres variables, entonces tendríamos ocho posibilidades:

En general, dado un número n de variables, o de enunciados, el número de combinaciones posibles de sus valores de verdad sería 2ⁿ

Además de los signos que nos permiten identificar enunciados, existen un segundo tipo de signos que posibilitan la formación de estructuras más complejas mediante conexiones entre oraciones simples.

Las conextivas

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Bienvenidos

Quen se dirige a ustedes son estudiantes de UNIVERSIDADTÉCNICA PARTICULAR DE LOJA , de la carrera de SISTEMAS INFORMÁTICOS Y COMPUTACIÓN, por parte de nuestra materia FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS del ciclo abril-agosto 2010 , creamos este espacio para darles a conocer acerca del tema de LÓGICA PROPOSICIONAL.

Esperamos les sea de mucha utilidad y que la información que proporcionamos en el presente blog sea de su agrado y comprensión.

De antemano les pedimos disculpas por los posibles errores que pudiesen encontrara en el presente.

ATENTAMENTE:

JONNY LOPEZ

SANTIAGO MANTILLA

RODOLFO ARMIJOS

INICIO

En lógica y matemática, la lógica proposicional es un sistema formal diseñado para analizar ciertos tipos de argumentos. En la lógica proposicional, las fórmulas representan proposiciones y las constantes lógicas son operaciones sobre las fórmulas que producen otras fórmulas de mayor complejidad.^[1] Como otros sistemas lógicos, la lógica proposicional intenta esclarecer nuestra comprensión de la noción de consecuencia lógica para el rango de argumentos que analiza.

Introducción:

Considérese el siguiente argumento:

1. Mañana es miércoles o mañana es jueves.
2. Mañana no es jueves.
3. Por lo tanto, mañana es miércoles.

Este es un argumento válido. Quiere decir que es imposible que las premisas sean verdaderas y la conclusión falsa. Esto no quiere decir que la conclusión sea verdadera. Si las premisas son falsas, entonces la conclusión también podría serlo. Pero si las premisas son verdaderas, entonces la conclusión también lo es. La validez de este argumento no se debe al significado de las expresiones “mañana es miércoles” y “mañana es jueves”, porque éstas podrían cambiarse por otras y el argumento permanecer válido. Por ejemplo:

1. Está soleado o está nublado.
2. No está nublado.
3. Por lo tanto, está soleado.

En cambio, la validez de estos dos argumentos depende del significado de las expresiones “o” y “no”. Si alguna de estas expresiones se cambiara por otra, entonces podría ser que los argumentos dejaran de ser válidos. Por ejemplo:

1. Ni está soleado ni está nublado.
2. No está nublado.
3. Por lo tanto, está soleado.

Las expresiones de las que depende la validez de los argumentos se llaman constantes lógicas. La lógica proposicional estudia el comportamiento de una variedad de estas expresiones. En cuanto a las expresiones como “está nublado” o “mañana es jueves”, lo único que importa de ellas es que tengan un valor de verdad. Es por esto que se las reemplaza por simples letras, cuya intención es simbolizar una expresión con valor de verdad cualquiera. A estas letras se las llama variables proposicionales, y en general se toman del alfabeto latino, empezando por la letra p, luego q, r, s, etc. Así, los dos primeros argumentos de esta sección podrían reescribirse así:

1. p o q
2. No q
3. Por lo tanto, p

Y el tercer argumento, a pesar de no ser válido, puede reescribirse así:

1. Ni p ni q
2. No q
3. Por lo tanto, p

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